Основы вариационного исчисления. Том первый. Часть I. Функции многих переменных - Люстерник Л.А., Лаврентьев М.А.
Люстерник Л.А., Лаврентьев М.А.

Основы вариационного исчисления. Том первый. Часть I. Функции многих переменных

Автор Люстерник Л.А. Лаврентьев М.А.
Издательство ОНТИ
Год 1935
Формат DJVU


Рейтинг книги
0.00
(оценок < 5)
0 10

Первая часть „Основ вариационных исчислений", посвященная функциям конечного числа переменных и их экстремумам, вышла отдельной книжкой. Настоящая книга, II—IV части, содержит несколько расширенный университетский курс. Мы начинаем ее с „Основных понятий и методов вариационного исчисления". На этой части (II) мы сознательно остановились более подробно, так как, с одной стороны, эти понятия имеют фундаментальное значение в анализе вообще; с другой стороны, овладение основными понятиями и методами математической дисциплины не менее важно, чем овладение ее рецептурой.

Начало II части естественно примыкает к I части: вариационные задачи здесь рассматриваются как предельные задачи на экстремум функций конечного числа переменных. Сначала решаются отдельные частные вариационные задачи, затем делается переход к решению общей задачи. Подобные элементарные методы (конечно в другом изложении — инфинитезимальном) были характерны для первого развития вариационного исчисления. Но и после создания более общих формализированных методов элементарные приемы могут иметь преимущество при решении отдельных задач.

Теорию функции конечного числа переменных мы начинали с n-мерной геометрии, рассматривая функции многих переменных как функции точки в n-мерных пространствах. Вариационное исчисление расширяет понятие функции. Современная геометрия соответственным образом обобщает основные геометрические понятия. В главе VI (и в начале главы VII) мы приводим элементы абстрактной геометрии. Вариационное исчисление с точки зрения современной математики есть дифференциальное исчисление для функций более общей природы, развертывающейся на пространствах более общей природы.

Часть III изучает основные классические вариационные задачи с точки зрения необходимых условий.

Глава XIII части IV содержит теорию второй вариации для простейшей и изопериметрической задачи. С нею связаны дифференциальные уравнения Штурма-Лиувилля. Наряду с теорией слабого экстремума и сопряженных точек, в ней приводится экстремальная теория собственных значений Куранта. В "ней же иллюстрируется предельный переход от функции конечного числа переменных к функционалам.
Глава XiV содержит излагаемую в геометрической форме теорию поля и достаточные условия Вейерштрасса.